Herausfordernde Zählprobleme und Lösungen

Das Zählen kann als einfache Aufgabe erscheinen. Wenn wir tiefer in den Bereich der Mathematik einsteigen, der als Kombinatorik bezeichnet wird, stellen wir fest, dass wir auf einige große Zahlen stoßen. Da die Fakultät so oft auftaucht und eine Zahl wie 10! größer als drei Millionen ist, kann das Zählen von Problemen sehr schnell kompliziert werden, wenn wir versuchen, alle Möglichkeiten aufzulisten.

Wenn wir alle Möglichkeiten in Betracht ziehen, die unsere Zählprobleme bieten können, ist es manchmal einfacher, die zugrunde liegenden Prinzipien des Problems zu überdenken. Diese Strategie kann viel weniger Zeit in Anspruch nehmen, als brachiale Gewalt anzuwenden, um eine Reihe von Kombinationen oder Permutationen aufzulisten.

Die Frage "Wie viele Wege können wir gehen?" ist eine andere Frage als "Wie kann etwas getan werden?" Wir werden diese Idee in der folgenden Reihe herausfordernder Zählprobleme sehen.

Die folgenden Fragen betreffen das Wort TRIANGLE. Beachten Sie, dass es insgesamt acht Buchstaben gibt. Es sei darauf hingewiesen, dass die Vokale des Wortes TRIANGLE AEI und die Konsonanten des Wortes TRIANGLE LGNRT sind. Bevor Sie weiterlesen, sollten Sie eine Version dieser Probleme lesen, die keine Lösung bietet.

Die Probleme

1. Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden??
   Lösung: Hier gibt es insgesamt acht Auswahlmöglichkeiten für den ersten Buchstaben, sieben für den zweiten, sechs für den dritten und so weiter. Mit dem Multiplikationsprinzip multiplizieren wir insgesamt 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 verschiedene Arten.
2. Wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die ersten drei Buchstaben RAN sein müssen (in genau dieser Reihenfolge)?
   Lösung: Die ersten drei Buchstaben wurden für uns ausgewählt, so dass wir fünf Buchstaben haben. Nach dem RAN haben wir fünf Möglichkeiten für den nächsten Buchstaben, gefolgt von vier, dann drei, dann zwei und dann eins. Nach dem Multiplikationsprinzip ergeben sich 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 Möglichkeiten, die Buchstaben in einer bestimmten Weise anzuordnen.
3. Wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die ersten drei Buchstaben RAN sein müssen (in beliebiger Reihenfolge)?
   Lösung: Betrachten Sie dies als zwei unabhängige Aufgaben: Die erste ordnet die Buchstaben RAN und die zweite ordnet die anderen fünf Buchstaben. Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, RAN und 5 zu arrangieren! Möglichkeiten, die anderen fünf Buchstaben zu ordnen. Es gibt also insgesamt 3! x 5! = 720 Möglichkeiten, die Buchstaben von TRIANGLE wie angegeben anzuordnen.
4. Wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die ersten drei Buchstaben RAN (in beliebiger Reihenfolge) und der letzte Buchstabe ein Vokal sein müssen?
   Lösung: Betrachten Sie dies als drei Aufgaben: die erste arrangiert die Buchstaben RAN, die zweite wählt einen Vokal aus I und E und die dritte arrangiert die anderen vier Buchstaben. Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, RAN zu arrangieren, 2 Möglichkeiten, einen Vokal aus den verbleibenden Buchstaben auszuwählen und 4! Möglichkeiten, die anderen vier Buchstaben zu ordnen. Es gibt also insgesamt 3! X 2 x 4! = 288 Möglichkeiten, die Buchstaben von TRIANGLE wie angegeben anzuordnen.
5. Wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die ersten drei Buchstaben RAN (in beliebiger Reihenfolge) und die nächsten drei Buchstaben TRI (in beliebiger Reihenfolge) sein müssen??
   Lösung: Wieder haben wir drei Aufgaben: Die erste arrangiert die Buchstaben RAN, die zweite arrangiert die Buchstaben TRI und die dritte arrangiert die beiden anderen Buchstaben. Es gibt 3! = 6 Wege um RAN zu arrangieren, 3! Möglichkeiten, TRI anzuordnen, und zwei Möglichkeiten, die anderen Buchstaben anzuordnen. Es gibt also insgesamt 3! x 3! X 2 = 72 Möglichkeiten, die Buchstaben von TRIANGLE wie angegeben anzuordnen.
6. Wie viele verschiedene Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die Reihenfolge und die Platzierung der Vokale IAE nicht geändert werden können?
   Lösung: Die drei Vokale müssen in derselben Reihenfolge gehalten werden. Jetzt sind insgesamt fünf Konsonanten zu arrangieren. Dies kann in 5 getan werden! = 120 Wege.
7. Wie viele verschiedene Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die Reihenfolge der Vokale IAE nicht geändert werden kann, obwohl ihre Platzierung zulässig ist (IAETRNGL und TRIANGEL sind zulässig, EIATRNGL und TRIENGLA jedoch nicht)??
   Lösung: Dies ist am besten in zwei Schritten gedacht. Schritt eins ist die Auswahl der Orte, an die die Vokale gehen. Hier wählen wir drei von acht Plätzen aus, und die Reihenfolge, in der wir dies tun, ist nicht wichtig. Dies ist eine Kombination und es gibt insgesamt C(8,3) = 56 Möglichkeiten, diesen Schritt auszuführen. Die restlichen fünf Buchstaben können in 5 angeordnet werden! = 120 Wege. Dies ergibt insgesamt 56 x 120 = 6720 Anordnungen.
8. Wie viele verschiedene Arten können die Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn die Reihenfolge der Vokale IAE geändert werden kann, ihre Platzierung jedoch möglicherweise nicht?
   Lösung: Dies ist wirklich dasselbe wie oben, jedoch mit unterschiedlichen Buchstaben. Wir arrangieren drei Buchstaben in 3! = 6 Wege und die anderen fünf Buchstaben in 5! = 120 Wege. Die Gesamtzahl der Wege für diese Anordnung beträgt 6 x 120 = 720.
9. Auf wie viele verschiedene Arten können sechs Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden??
   Lösung: Da es sich um ein Arrangement handelt, handelt es sich um eine Permutation und es gibt insgesamt P(8, 6) = 8! / 2! = 20.160 Wege.
10. Wie viele verschiedene Arten können sechs Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn es eine gleiche Anzahl von Vokalen und Konsonanten geben muss??
    Lösung: Es gibt nur einen Weg, die Vokale auszuwählen, die wir platzieren werden. Die Auswahl der Konsonanten kann in erfolgen C(5, 3) = 10 Wege. Es sind dann 6! Möglichkeiten, die sechs Buchstaben zu ordnen. Multiplizieren Sie diese Zahlen mit dem Ergebnis von 7200.
11. Auf wie viele verschiedene Arten können sechs Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn es mindestens einen Konsonanten geben muss?
    Lösung: Jede Anordnung von sechs Buchstaben erfüllt die Bedingungen, so gibt es P(8, 6) = 20.160 Wege.
12. Auf wie viele verschiedene Arten können sechs Buchstaben des Wortes TRIANGLE angeordnet werden, wenn sich die Vokale mit den Konsonanten abwechseln müssen?
    Lösung: Es gibt zwei Möglichkeiten: Der erste Buchstabe ist ein Vokal oder der erste Buchstabe ist ein Konsonant. Wenn der erste Buchstabe ein Vokal ist, haben wir drei Möglichkeiten, gefolgt von fünf für einen Konsonanten, zwei für einen zweiten Vokal, vier für einen zweiten Konsonanten, einen für den letzten Vokal und drei für den letzten Konsonanten. Wir multiplizieren dies, um 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 zu erhalten. Nach Symmetrieargumenten gibt es die gleiche Anzahl von Anordnungen, die mit einem Konsonanten beginnen. Dies ergibt insgesamt 720 Anordnungen.
13. Wie viele verschiedene Sätze von vier Buchstaben können aus dem Wort TRIANGLE gebildet werden??
    Lösung: Da es sich um vier Buchstaben von insgesamt acht handelt, ist die Reihenfolge nicht wichtig. Wir müssen die Kombination berechnen C(8, 4) = 70.
14. Wie viele verschiedene Sätze von vier Buchstaben können aus dem Wort TRIANGLE gebildet werden, das zwei Vokale und zwei Konsonanten hat?
    Lösung: Hier bilden wir unser Set in zwei Schritten. Es gibt C(3, 2) = 3 Möglichkeiten, aus insgesamt 3 Vokalen zwei auszuwählen. Es gibt C(5, 2) = 10 Möglichkeiten, Konsonanten aus den fünf verfügbaren auszuwählen. Damit sind insgesamt 3x10 = 30 Sätze möglich.
15. Wie viele verschiedene Sätze von vier Buchstaben können aus dem Wort TRIANGLE gebildet werden, wenn wir mindestens einen Vokal wollen?
    Lösung: Dies kann wie folgt berechnet werden:

• Die Anzahl der Viersätze mit einem Vokal beträgt C(3, 1) x C(5, 3) = 30.
• Die Anzahl der Viersätze mit zwei Vokalen beträgt C(3, 2) x C(5, 2) = 30.
• Die Anzahl der Viersätze mit drei Vokalen beträgt C(3, 3) x C(5, 1) = 5.

Dies ergibt insgesamt 65 verschiedene Sätze. Alternativ können wir berechnen, dass es 70 Möglichkeiten gibt, einen Satz von vier beliebigen Buchstaben zu bilden, und den Wert subtrahieren C(5, 4) = 5 Möglichkeiten, einen Satz ohne Vokale zu erhalten.